43-летний Азамат Ескараев окончил Казахскую государственную юридическую академию.
Карьеру начал в 2000 году ведущим специалистом департамента законодательства Министерства юстиции РК. С 2005 по 2006 годы работал главным инспектором акима города Алматы. С 2007 года работал в Минюсте на различных должностях.
С 2014 по 2019 годы работал заместителем заведующего юридическим отделом канцелярии премьер-министра. С 2019 по январь 2023 года был заведующим юридическим отделом канцелярии премьер-министра.
С 4 января 2023 года занимает должность министра юстиции.